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2012/10/15

コイン投げ問題

問題1

A氏とB氏がコインを投げてゲームを行う。

コインを投げるごとにその表裏をメモする。
例えば5回コインを投げ、表裏裏表表の順になったらば
オウウオオ とメモする。

先にオオウという文字列が現れればA氏の勝ち。
先にオウウという文字列が現れればB氏の勝ちである。

オオウまたはオウウという文字列が現れたら直ちにゲームは終了する。

さて、A氏が勝つ確率、B氏が勝つ確率はそれぞれいくらか?



まず、オートマトンを書いてみよう

20121015fig1.jpeg

このオートマトンをからAが勝利する文字列と
Bが勝利する文字列をそれぞれ正規表現にしてみよう。

今回使用する数式エディタは日本語が使えないので
オをOで表し、
ウをUで表すことにする
またはUが0回以上繰り返されることを意味する。

プレイヤーAが勝つパターン


プレイヤーBが勝つパターン


である。ここで表が出る確率も裏が出る確率も共に1/2であるから、
上記の正規表現より、プレイヤーAが勝つ確率は





数式入力に疲れたのでとりあえずここまで。
後ほどこの日記に続き書きます

結局続きは新しい記事にしました
http://halzikkyou.blog68.fc2.com/blog-entry-311.html

コメント

非公開コメント

No title

オートマトンとか全然分からんけどこういうこと?

最初見たときはどっちが有利ってこともなく等価なのかと思ったけど
オオウの方は
オオというのが出た時点でA氏の価値は確定で
(オオオオオ…オウとかいつか終わる)
オウウの方は
オウと来てもオが出ちゃうとリセットされちゃうので
オウオオウと逆転されることもありうるので
一見どっちもそんなに差がないようだけど圧倒的にA氏有利ってことかなー?

で,実際計算すると2/3でA氏が勝つと
UOとか複素行列の計算にしか見えないwwww
オートマトンとか基礎知識を知らないからごめんね

No title

何か図の真ん中が下に行っても上に帰る矢印が有るけど
右側は左に戻る矢印がないのがその辺を表現してるっぽいね…

No title

そ、そ
そーゆーことです!

最初からA氏のが断然有利で
A氏は実質オオが出たら勝ちなのに対し
B氏はオウウが出ないと勝てないのです

No title

ごめん
ちょっと思いついたので書いちゃうけど
忙しかったらスルー指定医からね><

これってAさんが有利すぎるから
コインの表裏の試行回数をN(>=3)回で区切って
決着がつかなかった場合はBさんの勝ちとするとどうだろうと考えました
最初は圧倒的にBさん有利だけど
だんだんAさんに軍配が上がるようになるはずと予想

ただそれだと繰り返しが上のように書けなくて
(→∞みたいな操作ができなくなる)
N回以内にAさんが勝てるパターンを書く
みたいな問題になってしまうね

そういうアプローチの問題ってやったりするのかな?

No title

お、それ面白いね。採用!

No title

思いついたはいいけど
とてつもない場合分けの応酬になりそう

sakuさんの一連の議論は無限回試行するから綺麗にまとめられていたけど
有限できるのはむずかそうね
しばらく考えて諦めたw
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