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2012/10/10

相似と双対

ふと思ったこと。

三角形の各辺の中点を結んでできる三角形は、もとの三角形と相似である。
正四面体の各面の重心を結んでできる立体は正四面体である。

この二つが成り立つのなら、

任意の四面体の各面の重心を結んでできる立体は、元の四面体と相似である
が成り立つかなあ


まず、立体における相似とは何か。
砕けた言い方をすれば同じ形、違う大きさ。

これはすなわち
各頂点の形状が比較対象と等しいということ。

だが、どの頂点がどの頂点に対応しているのか
ということについて注意しなければならない

頂点毎の形状が等しくても
頂点の配置が異なればそれは相似でない

それから頂点の形状とは
その頂点に集まる面の形が関係する。
その面のその頂点における角度がどうなっているかという問題と、
その頂点に面が何個集まっているか、
どういう順番で並んでいるか
という問題がある。

これらを綺麗にまとめて最終的に先の命題を検証したい。

それについてはまた今度。



それから、例えば円の方程式は

x^2+y^2=r^2

と表せる。ここでrは定数(半径)である。
書き方を変えれば

y=f(x)

である。
つまり、y=f(x)は2次元平面上の曲線を表している
(ここでいう曲線は端点を共有する線分の集まりでそれは線状になる)

同様にして、正方形、正三角形なども
y=f(x)
の形で表せるはず

もっと複雑な形も表せそう。



すなわち二次元平面の曲線はy=f(x)に、
3次元空間の面はz=f(x,y)で表せそう

例えば立方体とか八面体とかも
z=f(x,y)で表せそう

どうなるのかな

ってふと思った

コメント

非公開コメント

No title

立体の相似は回転(立体の重心を固定した回転)と拡大縮小のみでぴったり重なるものと定義できるかな?

なんか全然検証してないけど気持ち的には相似になるんじゃね?
鏡面対称とかにはなるかもしれないね
これを具体的に頭で描こうと思ってもちょっと辛いなぁむりだwww
まぁ四面体くらいなら適当に頂点8つ(xs,ys,zs),s=1,2,3,4
とって
計算していけば出来るのかもしれないね
でも回転させて一致するかどうかはどうやればいいのだろうね
まぁ多分有る程度数字の対応に対象性が有るんだろうとは思うけど
新たに作った頂点を示すために出てくるものの中に格納されたsの数字と対応するもともとの(xs,ys,zs)のsとが何がしかの対応をすると思われます
しかしここまで考えたもののやりきる気力も自身もないですなぁorz

No title

拡大縮小はもう少し厳密に定義が必要だね
有る一方向にのみ引き伸ばすなんてことしたら当然ダメで
重心から頂点まで腕の長さを各々の頂点ごとに同じ比率で伸ばさないといけないね
面に関してもそうだね
トポロジーじゃないんだからw
まぁそんなことsakuさんは分かっているだろうけどアカデミックにはそういうと子もきちんと議論しないといけないからなぁ…

No title

>なおちん

重心固定の拡大縮小回転はナイスアイデアです!
鏡面対称に関してはそれも相似とみなす流派もあるっぽいです

命題を証明するだけなら、図に書いて、どの面とどの面が対応、
どの辺とどの辺が対応してるということを丁寧に書いていけば
それで良いと思われます

添字の対応うんぬんはごめんなさい
ちょいとよく分からなかったですが
まぁとにかくやってみるのが吉です

結果報告をお待ち下しあ

No title

ついでだからもう1つ書いておくか

一般的にd次元中のd-1次元の超曲面は
f(x_s)=S,(s=1,2,3,…,s,Sはスカラー)
で表すことが出来ます
この超曲面の上の任意の点に垂直なベクトルは
f(x_s)=S+δSとf(x_s)=Sとの差であらわせます
つまり微分ですね

実際三次元空間中の二次元曲面の一例としては
x+y+z=1
を考えることが出来て
これは(1,0,0),(0,1,0,(0,0,1)の三点を通る平面をあわしていますね
そして,x+y+z=1を微分すると
(df/dx,df/dy,df/dz)=(1,1,1)となります
これはこの平面に垂直なベクトルで
平面なので平面状のどこに生えているかという位置の情報には依存しないので成分が全部スカラーとなっています
ノルムに規格化するなら√3で割ればいいです

d次元中のd-2次元の超曲面(超曲線)は
f_1(x_s)=S_1とf_2(x_s)=S_2の交わった立体で表すことが出来ます
d-n次元ならn本の式を用意してやればいいわけです
まぁそれぞれが同一のものだったりちゃんと交点を持たないものだったりすればダメなんだけど
その辺りをきっちり表す方法はわかんないやw
相対性理論を勉強するとこんな話し嫌というほど出てくるよwww

時間方向にベクトルを用意して
空間方向をあらわすベクトルをどのようにセッティングすれば空間を上手く表せるか
みたいなwww
興味有るなら勉強してみてください

No title

わかりにくかったかも
>平面状のどこに生えているかという位置の情報には依存しないので
例えば球面なら
x^2+y~2+z^2=1
とすると
平面に垂直なベクトルは
(2x,2y,2z)となります
(1,0,0)の点から生えてる法線は(2,0,0)だし
(0,-1/√2,1/√2)に生えてるものは(0,-2/√2,2/√2)という感じ

直接会えるなら何時間でもお教えするのに…
残念www

No title

平面に垂直な直線はなんとか理解できました!

d次元中のd-2次元の超曲面は
例えば3次元空間内の曲線を表してるのだと思うのですけど
それは曲面Aと曲面Bがぶっささってて、
その交わった線(稜?)がその曲線ってことなのかしら

No title

>d次元中のd-2次元の超曲面は
例えば3次元空間内の曲線を表してるのだと思うのですけど
それは曲面Aと曲面Bがぶっささってて、
その交わった線(稜?)がその曲線ってことなのかしら

そうそう!
やっぱり数学専門だからイメージ力が高いねぇ^^

具体的に計算すればいいよ
簡単のために
x=0(y-z平面)とx+y+z=1とを連立してといたら
y+z=1という直線が出てくるでしょ?
これはy-z平面をx+y+z=1が横切って切った断面になってるよね?

じゃあ宿題
x^2+y~2+z^2=1

x+y+z=1
だと?
たぶん円になるはず

No title

ごめんさっきの宿題難しすぎて分けわかんないやorz
x^2+y~2+z^2=1

x=1/2とかでやってみて

No title

新曲をミクさんに歌わせてて返信遅れましたw


中心が(1/2,0,0)、半径が√3/2 の円になります!

それでもって x=1/2平面上にあるます

これはイメージですぐできるね!

No title

最初の問題は変数を設定しなおさないと円っぽい式は出てこないのです
一応二つの式の交点をしらみつぶしに書いていくと円にはなるんだけど
この円を二つの変数のみで表すにはx^2+y~2+z^2=1上に新たにX,Yという変数を取って
その原点を球の断面の中心と一致させなければならなくてコレはかなり骨が折れるのです

後から出した問題はx=1/2平面状に半径がもともとの急より狭まった円が出てくるはずです

推敲せずに書いたためにコメントが分かれてごめんね

No title

いれちがったorz

そうそう正解です><b GJ!

No title

つーか
x^2+y~2+z^2=1
と、何かしらの平面だったら
その断面は絶対円になるね

球面と球面でも円になりそう

No title

うそばっかり
ごめん
x+y+z=1上にX,Yをとる
具体的には
X=f(x,y,z)
Y=g(x,y,z)
と変数変換するの

ミクさんの新曲楽しみー
がんばってね^^

No title

修正前の問題だと、半径は√6/3になりそうだけど
中心の座標はちとめんどいかな

No title

球面と球面も円だね
中心をどっちもx軸上にとればy-z平面上の円として表せるね

No title

ごめんなさい普通に図書いて
変数変換しないでやってましたw

簡単な問題だとこのほうが早かったりするので・・・

No title

まあ出せるけどね
原点からx+y+z=1に垂線を下ろした足だから
さっき出した式で平面の法線(x,y,z)=n×(1,1,1)が原点を通るようなほう線の足が断面の円の中心なので
n=1/3で(1/3,1/3,1/3)が中心だよー

No title

修正前の問題だと
中心(1/3,1/3,1/3)
半径r=√6/3
x+y+z=1上の円でした!

まず、
z+y+z=1は
(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)を通ります
そして
x^2+y^2+z^2=1もおんなじ点を通ります

すなわち、
断面の円は
(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)の張る正三角形の外接円です
この正三角形の一辺の長さは

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0)が直角二等辺三角形だから√2です

あとはごにょごにょしました!

No title

おお
完璧だね

後はその円の中心を原点として
円の平面上にX-Y平面をとって垂直方向にZ軸を取って
x,y,zとX,Y,Zの対応を考えたら最初の問題のこたえなんだけどそんなことは瑣末な問題なのですwww

No title

ちがう
ごめん
ほんとごめんwww

最初の問題の答えとしては
その円を角度θのみで表せば
一次元にリダクションされたといえるので
つまり

x+y+z=1平面上で原点が(1/3,1/3,1/3)で半径がr=√6/3
となる円は
適当に取った半径からの角度θのみを変数とする一次元の曲線になっている
といえます
ということですね

その前のx^2+y^2+z^2=1だと
半径1で固定されてて
緯度と軽度の2変数で表せるから二次元曲面といえるという感じ

x+y+z=1も適当に2変数で表せると
だから二次元っと

ごめんごめん
ながなが書いて分かりにくかったかもだけど
まぁこうやれば好きな次元で好きな立体をかけるのです

終わり

No title

あぁそうか。
どんな曲線になるかを
一本の数式で表すのが目的だったの忘れたw

あるぇ?
でも
x^2+y^2+z^2=1で
x+y+z=1なら

上式から下式ひいて

(x^2-x)+(y^2-y)+(z^2-z)=0

平方完成して
(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2=3/4 ?

これって球の式だなぁ?

No title

あぁそっか!
媒介変数表示で
x=f(t)
y=g(t)
z=h(t)

で表せれば変数はtしかないから
1次元なのね!

No title

>あぁそっか!
媒介変数表示で
x=f(t)
y=g(t)
z=h(t)

で表せれば変数はtしかないから
1次元なのね!


花丸です><
さて,僕はバイトでおきてなならんからいいのだけど
サクさんは良い子だから明日に差し支えないうちに寝てくださいねw

No title

りょうかーい

ありがとー!
おやすみー!!
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